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内容提要
现有的“高斯整数理论”存在着致命的缺陷，必须被彻底推翻，取而代之的必将是全新的“三维整数理论”，即：《三维数论》。
众所周知，数论本应是最严谨和最具逻辑性的学科，然而高斯数论并没有很好地做到这一点。比如：高斯数论是专门研究整数性质及其相互关系的理论，但高斯数论却始终不知道整数的性质究竟应该是一维的（由一个量来确定一个整数的大小）还是三维的（由三个量来确定一个整数的大小）？同时也不知道整数究竟应该是由哪些基本要素构成的（实际应由两个基本要素构成）？因此高斯数论根本无法给出整数一个简明的定义，这真是不可思议的事情。可想而知，如果连整数的定义（三量、两要素）都没有搞清楚，那么由此而建立起来的整数理论体系还能是牢靠的吗？回答当然是否定的。
三维数论认为：整数的性质绝不是一维的而是三维的，因此整数更应该叫做三维数。任何一个三维数（整数）都具有三个相互垂直的量，我们把这三个量就叫做三维数的“维量”；任何一个三维数的大小都必须是由三个维量的大小共同确定的，缺一不可，这就是整数的最基本特征。
与三维数论不同，高斯数论从来没有把整数的性质理解为具有三个维量的三维数，因此也就不可能把“整数”与其中“维量”的概念相区别。在高斯数论者看来，任何一个整数（自然数）似乎都应该是只具有一个维量的“一维数”；任何一个整数的大小只须一个维量的大小就可以单独确定，这是高斯数论的错误根源。举例说明：
在高斯数论中，自然数的写法和读法都是只具有一个维量的“一维数”的写法和读法，而所谓“一维数”的概念实际上只相当于三维数中的一个维量的概念，因此自然数在本质上并不是一个整数。确切地说，自然数充其量只能算做整数中的一个维量而已。假如我们非要把自然数看成是一个整数的话，就必须将其分解成具有三个维量的三维数。比如：自然数1的写法和读法实际上只类似于三维数中的一个维量1的写法和读法，假如要想把自然数1变成是一个真正意义上的整数，至少要将自然数1的写法分解成具有三个维量1的三维数——[1×1×1]的写法（括号[ ]中的符号×代表垂直号而非乘号）；同时将[1×1×1]读做一一一。特别提示：以上的举例并非最终结论，要想了解完整答案就请仔细阅读本书第一章、第一节。
三维数论还认为：任何一个整数都应该被看成是由“计位数”和“计数单位”两个要素共同构成的。在整数中，计位数表示计数单位是多少的个数（计数单位的个数），计数单位表示整数大小的单位；任何一个整数的大小最终都是由其中的计位数和计数单位的大小共同确定的，缺一不可，这是整数的另一个重要特征。下面我们以所谓的“十进制数”（一维数）为例进行说明：
在十进制数中，一、二、三、四、五、六、七、八、九应该代表计位数，一（个）、十、百、千、万等应该代表计数单位。任何一个十进制整数都必须是由计位数和计数单位两要素共同构成的，其中计位数代表计数单位是多少的“个数”，计数单位代表整数大小的单位。比如：整数一一就是由计位数一和计数单位一共同构成的，其中计位数一代表计数单位一的个数，一一就是一个一的意思；整数二十是由计位数二和计数单位十共同构成的，其中二代表十的个数，二十就是二个十的意思；整数三百是由计位数三和计数单位百共同构成的，其中三代表百的个数，三百就是三个百的意思；整数四千是由计位数四和计数单位千共同构成的，其中四代表千的个数，四千就是四个千的意思；整数五万是由计位数五和计数单位万共同构成的，其中五代表万的个数，五万就是五个万的意思等。
注意：十进制整数中的所谓“个位数”：一、二、三、四、五、六、七、八、九的完整含义必须是一一、二一、三一、四一、五一、六一、七一、八一、九一，它们实际上都是以“一”为计数单位的整数。
在十进制数中，象一一与二一、二十与三十、三百与四百、四千与五千、五万与六万这样的整数之间都属于计数单位相同的整数，因此都应该把它们叫做“同位数”（其中的位是指计数单位的位而不是所谓数位的位或位置的位）； 而象一一、二十、三百、四千、五万之间都属于计数单位不同的整数，因此我们可以把它们叫做“异位数”（其中的位也是指计数单位的位而不是所谓数位的位或位置的位）。
在十进制数中，我们把两个或两个以上的计数单位不同的整数（异位数）组合而成的数量都叫做“组合整数”。比如：二十一一就是由两个计数单位不同的整数二十和一一组合而成的组合整数（事实上它不是一个整数而是两个整数）；三百二十四一就是由三个计数单位不同的整数三百、二十和四一组合而成的组合整数（事实上它不是一个整数而是三个整数）；四千三百二十五一就是由四个计数单位不同的整数四千、三百、二十和五一组合而成的组合整数；五万零三百零二一就是由三个计数单位不同的整数五万、三百和二一组合而成的组合整数。
为了便于理解，下面我们再以自然数的形式为例进行说明。按照三维数论的观点，自然数（十进制数）即使作为一维数（维量）的形式也必须是由计位数和计数单位两个要素共同构成的，因此在自然数的写法和读法中必须直接体现出计位数和计数单位的存在与区别,否则自然数就不能算做完整意义上的“十进制数”。举例说明：
（1）在自然数中，假如我们把1的含义看成是一个整数（一维数）的话，那么1的写法至少应该被看成是1和1的叠写（两个1的叠写），这样自然数1就可以被理解为是1个1的意思，其中前一个1代表计位数，后一个1代表计数单位。反过来说，假如我们没有把1的写法看成是1和1的叠写，那么1的含义就会变的不可理解，我们不知道1究竟应该代表计位数1？还是应该代表计数单位1？但至少不能被看作是一个整数1（1和1的叠写）。
自然数1作为整数的标准写法应该是11，其中1代表计位数，1代表计数单位；自然数1作为整数的标准读法应该是一一，其中前一个一代表计位数，后一个一代表计数单位，一一就是一个一的意思。自然数1的原有读法“一”应该被理解为标准读法“一一”的简称（省略了其中的计数单位一）。
（2）在自然数中，假如我们把2的含义也看成是一个整数的话，那么2的写法就应该被看成是2和1的叠写，这样自然数2就可以被理解为是2个1的意思，其中2代表计位数，1代表计数单位。反过来说，假如我们没有把2的写法看成是2和1的叠写，那么2的含义就不能被看作是一个完整的整数，而最多只能被看作是整数中的一个计位数2。
自然数2作为整数的标准写法应该是21，其中2代表计位数，1代表计数单位；自然数2作为整数的标准读法应该是二一，其中二代表计位数，一代表计数单位，二一就是二个一的意思。自然数2的原有读法“二”应该被理解为标准读法“二一”的简称（省略了其中的计数单位一）。
（3）在自然数中，假如我们把10的含义看成是一个整数的话，那么10的写法至少应该被看成是1和10的叠写，这样自然数10就可以被理解为是1个10的意思，其中1代表计位数，10代表计数单位。反过来说，假如我们没有把10的写法看成是1和10或10和1的叠写，那么10的含义就不能被看作是一个完整的整数的写法。严格地说，10的写法只能被看作是整数中的一个计位数10或计数单位10的写法。
自然数10作为整数的标准写法应该是110，其中1代表计位数，10代表计数单位。自然数10作为整数的标准读法应该是一十，其中一代表计位数，十代表计数单位，一十就是一个十的意思。自然数10的原有读法“十”应该被理解为标准读法“一十”的简称（省略了其中的计位数一）。
（4）在自然数中，假如我们把20的含义看成是一个整数的话，那么20的写法至少应该被看成是2和10的叠写，这样自然数20就可以被理解为是2个10的意思，其中2代表计位数，10代表计数单位。反过来说，假如我们没有把20的写法看成是2和10的叠写，那么20的含义就不能被看作是一个整数的写法，而最多只能被看成是整数中的计位数20的写法（2个计位数10的叠写）。
自然数20作为整数的标准写法应该是210，其中2代表计位数，10代表计数单位。自然数20作为整数的标准读法应该是二十，其中二代表计位数，十代表计数单位，二十就是二个十的意思。自然数20的原有读法本来就读做二十。
（5）在自然数中，假如我们把300的含义看成是一个整数的话，那么300的写法就应该被看成是3和100的叠写，这样自然数300就可以被理解为是3个100的意思，其中3代表计位数，100代表计数单位。反过来说，假如我们没有把300的写法看成是3和100的叠写，那么300的含义就不能被看作是一个整数的写法，而最多只能被看成是整数中的计位数300的写法（3个计位数100的叠写）。
自然数300作为整数的标准写法应该是3100，其中3代表计位数，100代表计数单位。自然数300作为整数的标准读法应该是三百，其中三代表计位数，百代表计数单位，三百就是三个百的意思。自然数300的原有读法本身就读做三百。
（6）在自然数中，假如我们把4000的含义看成是一个整数的话，那么4000的写法就应该被看成是4和1000的叠写，这样自然数4000就可以被理解为是4个1000的意思，其中4代表计位数，1000代表计数单位。反过来说，假如我们没有把4000的写法看成是4和1000的叠写，那么4000的含义就不能被看作是一个整数的写法，而最多只能被看成是整数中的计位数4000的写法。
自然数4000作为整数的标准写法应该是41000，其中4代表计位数，1000代表计数单位。自然数4000作为整数的标准读法应该是四千，其中四代表计位数，千代表计数单位，四千就是四个千的意思。自然数4000的原有读法本身就读做四千。
（7）在自然数中，假如我们把50000的含义看成是一个整数的话，那么50000的写法就应该被看成是5和10000的叠写，这样自然数50000就可以被理解为是5个10000的意思，其中5代表计位数，10000代表计数单位。反过来说，假如我们没有把50000的写法看成是5和10000的叠写，那么50000的含义就不能被看作是一个整数的写法，最多只能被看成是整数中的计位数50000的写法。
自然数50000作为整数的标准写法应该是510000，其中5代表计位数，10000代表计数单位。自然数50000作为整数的标准读法应该是五万，其中五代表计位数，万代表计数单位，五万就是五个万的意思。自然数50000的原有读法本身就读做五万。
在高斯数论中，人们往往把象12、24、168、2345、65432这样的自然数也通通看成是与1、20、300、4000、50000性质相同的整数，这显然是不对的。按照三维数论的观点，象12、24、168、2345、65432这样的自然数实际上都是由两个或两个以上的计数单位不同的整数（异位数）组合而成的，因此都应该叫做组合整数。举例说明：
（1）在自然数中，12的写法实际上是由10和2叠写而成的。如果我们把自然数10和2的含义理解为是两个计数单位不同的整数110和21的话，那么12就可以被理解为是由110和21组合而成的组合整数，应该写成11021的形式，读做一十二一，简称一十二。
（2）在自然数中，24的写法是由20和4叠写而成的。如果我们把20和4的含义理解为是两个计数单位不同的整数210和41的话，那么自然数24就可以被理解为是由210和41组合而成的组合整数，应该写成21041的形式，读做二十四一，简称二十四。
（3）在自然数中，168的写法实际上是由100、60和8叠写而成的。如果我们把100、60和8的含义理解为是三个计数单位不同的整数1100、610和81的话，那么自然数168就可以被理解为是由1100、610和81组合而成的组合整数，应该写成110061081的形式，读做一百六十八一，简称一百六十八。
（4）在自然数中，2345的写法实际上是由2000、300、40和5叠写而成的。如果我们把其中的2000、300、40和5的含义理解为是四个计数单位不同的整数21000、3100、410和51的话，那么自然数2345就可以被理解为是由21000、3100、410和51组合而成的组合整数，应该写成21000310041051的形式，读做二千三百四十五一，简称二千三百四十五。
（5）在自然数中，60402的写法实际上是由60000、400和2叠写而成的。如果我们把其中的60000、400和2的含义理解为是三个计数单位不同的整数610000、4100和21的话，那么自然数60402就可以被理解为是由610000、4100和21组合而成的组合整数，应该写成610000410021的形式，读做六万零四百零二一，简称六万零四百零二。
特别提示：以上举例也并非最终结论，正确答案以书中内容为准。
三维数论进一步认为：任何整数的增加过程都是通过其中的计位数的增加过程实现的，换句话说整数的增加过程直接表现为其中的计位数的增加而计数单位保持不变。比如：自然数1作为整数的标准写法应该是11，其中1代表计位数，1代表计数单位；11的增加过程直接表现为其中的计位数1的增加而计数单位1保持不变，每次至少也要增加计位数1，这样11就可以陆续增加到21、31、41、51、61、71、81、91等，它们分别读做一一、二一、三一、四一、五一、六一、七一、八一、九一。
三维数论还认为：整数中计位数的增加过程并不应该持续不断地进行，当计位数增加到一定值时，计数单位就要进行“换位”。所谓换位就是指将整数中若干个较小的计数单位更换成一个较大的计数单位的过程,换位后整数才能得以继续增加。在换位过程中，我们把换位发生时计位数所要达到的值叫做“换位值”，简称“换值”；把换位过程中所采用的具体方法叫做换位方法，简称“换制”。根据换值大小的不同，换制（换位方法）可分为多种形式。如：十换制、八换制、六换制等，下面我们只以十换制为例进行说明。
所谓十换制就是指以计位数十（10）为换值的换位方法，也可以叫做“满十换一”或“满十换位”的方法。举例说明：
11是自然数中的最小整数，其中1是计位数，由于未满10，因此11就可以陆续增加到21、31、41直至101为止。在101中，计位数已满10（已达到换值），因此就要进行计数单位之间的换位。换位过程采用满十换一的方法，这样101就要换位成110的形式，这个过程的含义就是将10个较小的计数单位1更换成1个较大的计数单位10，或者说就是将十个一更换成一个十。101是10个1的意思，其中10是计位数，1是计数单位，读做十一；110是1个10的意思，其中1是计位数，10是计数单位，读做一十。满十换位后，整数110得以继续增加。
注意：整数的换位过程只改变其中计数单位的大小和多少而不改变整数本身的大小。比如：101与110的区别主要表现为其中的计数单位的大小和多少不同。确切地说，101与110是两个含有不同计数单位的整数，或者说它们不是“同位数”，而是“异位数”。
在110中，计位数是1，由于未满10，因此可以继续增加，但最少也要增加1，这样110就可以增加到210、310、410直至达到1010为止。在1010中，计位数已满10，因此还要进行换位。换位过程仍采用满十换一的方法，这样1010就要换位成1100的形式，这个过程的含义就是将10个较小的计数单位10更换成1个较大的计数单位100，或者说就是将十个十更换成一个百。1010是10个10的意思，其中10是计位数，10是计数单位，读做十十；1100是1个100的意思，其中1是计位数，100是计数单位，读做一百。满十换位后，整数1100得以继续增加。
在1100中，计位数是1，由于未满10，因此可以继续增加，但最少也要增加1，这样1100就可以增加到2100、3100、4100直至达到10100为止。在10100中，计位数已满10，因此还要进行换位。换位过程继续采用满十换一的方法，这样10100就要换位成11000的形式，这个过程的含义就是将10个较小的计数单位100更换成1个较大的计数单位1000，或者说就是将十个百更换成一个千。10100是10个100的意思，其中10是计位数，100是计数单位，读做十百；11000是1个1000的意思，其中1是计位数，1000是计数单位，读做一千。满十换位后，整数11000得以继续增加。
注意：千万不要把三维数论中的换位、换制、十换制、满十换一、换值等概念理解成高斯数论中的所谓“进位”、“进制”、“十进制”、“满十进一”、“进率”等概念，因为后者都是不准确的概念。
三维数论认为：根据是否采用“满值换位”的方法来计算大小，整数可分为“换制数”和“非换制数”两种。下面我们分别讨论：
一、换制数：顾名思义，所谓换制数就是指采用“满值换位”的方法计算出来的整数。根据采用换制种类（或换值）的不同，换制数又可分为多种类型，如：十换制整数、八换制整数、六换制整数等。下面我们只以十换制整数为例进行说明。
所谓十换制整数就是采用“满十换一”的方法计算出来的整数，或者说就是以9为最大计位数、以10为最小计数单位并采用“满十换一”的方法计算出来的整数。根据所含计数单位大小的不同，十换制整数又可细分为十位数、百位数、千位数等（这里的位是指计数单位的位而不是数位的位）。举例说明：
（1）十位数就是以10为计数单位的整数，如：110、210、310、410、510、610、710、810、910等，它们分别读做一十、二十、三十、四十、五十、六十、七十、八十、九十。
（2）百位数就是以100为计数单位的整数，如：1100、2100、3100、4100、5100、6100、7100、8100、9100等，它们分别读做一百、二百、三百、四百、五百、六百、七百、八百、九百。
（3）千位数就是以1000为计数单位的整数，如：11000、21000、31000、41000、51000、61000、71000、81000、91000，它们分别读做一千、二千、三千、四千、五千、六千、七千、八千、九千。
在十换制整数中，任意两个或两个以上的计数单位不同的整数都可以组成一个十换制组合整数。根据组合整数中所含最大整数的不同，十换制组合整数又可细分为十位组合整数、百位组合整数、千位组合整数等。举例说明：
（1）十位组合整数就是以十位数为最大整数的组合整数，如：11021、21041等，它们分别读做一十二一和二十四一。
（2）百位组合整数就是以百位数为最大整数的组合整数，如：2100510、310061081等，它们分别读做二百五十和三百六十八一。
（3）千位组合整数就是以千位数为最大整数的组合整数，如：11000210031041、91000810071061等，它们分别读做一千二百三十四一和九千八百七十六一。
二、非换制数：所谓非换制数就是没有采用“满值换位”的方法计算出来的整数。事实上，非换制数都是以1为计数单位的整数，因此我们习惯上把非换制数叫做“个位数”；个位数中的个是指一的意思，个位数中的位是指计数单位的意思，个位数的含义就是指以一为计数单位的整数。如：11、21、101、111、201、221、3001、3211、40001、43211等，它们分别读做一个一、二个一、十个一、十一个一、二十个一、二十二个一、三百个一、三百二十一个一、四千个一、四千三百二十一个一。
特别提示：以上举例也并非最终结论，正确答案以书中内容为准。
与三维数论不同，由于高斯数论不懂得一个整数必须是由计位数和计数单位两个要素共同构成的，因此必然导致自然数在写法和读法中存在着极大的混乱，以至于根本无法说清楚每一个自然数的实际含义究竟是什么？比如：高斯数论说不清1究竟应该是1个几还是几个1？10究竟应该是1个10还是10个1？20究竟应该是2个10还是20个1？300究竟应该是3个100还是300个1？假如20是2个10的话那么22又是什么意思？假如20是20个1的话那么为什么不读做“二十个一”而非要读做二十？10应该读做十还是一十？十与一十的读法之间是什么关系，有什么区别？100应该读做百还是一百？百与一百的读法之间是什么关系，有什么区别？1个10与10个1之间是什么关系，有什么区别？20与22之间、300与322之间、4000与4322之间都是性质“完全相同”的整数吗？或者说22、322、4322都是“一个整数”还是由两个或两个以上的整数组合而成的组合整数？相信以上这些问题都是高斯数论者无法准确回答的，也是从未有人认真思考过的。
按照三维数论的观点，由于高斯数论不知道整数必须是由计位数和计数单位共同构成的，误以为整数只代表计数单位的个数（计位数）而不包括计数单位本身，因此在自然数的写法和读法中只能体现出计位数的存在而不能体现出计数单位的存在。下面我们详细讨论。
早期的人们是这样数数（数物体）的：一个箱子，两个柜子，三座房子等。这里所说的箱子、柜子和房子应该相当于整数中的计数单位，而一个、两个和三个应该相当于整数中的计位数（计数单位的个数或物体的个数）。也许是为了省事，后来人们在数数的时候把所有作为计数单位的“单个物体”都抽象成了“一”，这样在数物体的时候就会把一个箱子数成了一个一（一一）；把两个箱子数成了两个一（二一）；把三个箱子数成了三个一（三一）等，这些就是最早的整数。在数数过程中，大概当人们数到九一甚至十一的时候就会认为：既然所有整数中的计数单位都是“一”自然可以省略不计。这样人们在数数的时候就会有意无意的把一一直接数成了一；把二一直接数成了二；把三一直接数成了三；把九一直接数成了九；甚至把十一直接数成了十等。久而久之，再后来的人们在数数的时侯索性只把计数单位“一”的个数（计位数）当成了数，而把计数单位“一”本身排除在了整数之外。换句话说，人们在数物体的时侯只把物体的个数当成了数，而把物体本身排除在了整数之外，这是非常错误的。事实上，我们今天所使用的所谓整数都是被省略了计数单位“一”的个数，严格地讲它们都是不完整的整数，可惜从来没有人意识到这一点。说到这里，如果有人还没有理解的话，下面我们再以自然数的形式为例加以说明：
在高斯数论中，自然数作为整数本来至少应该写成N1的形式——如：11、21、31、41、51、61、71、81、91、101等，它们分别读做一一、二一、三一、四一、五一、六一、七一、八一、九一、十一。前面说过，整数的增加过程直接表现为其中的计位数的增加而计数单位1保持不变，但计位数的增加又不应该持续地进行，当计位数增加到一定值时计数单位就要进行更换。假如我们把自然数的含义看成是采用“满十换一”的方法计算出来的十换制整数的话，那么当自然数增加到101时就要立即满十换位成110的形式。经过换位后，101中的计数单位由1变成了10，计位数由10还原为1，110得以继续增加。
然而非常遗憾的是，高斯数论误以为所有整数中的计数单位1都是可有可无的，于是就错把N1的形式直接省略成了N的形式，如：把11、21、31、41、51、61、71、81、91、101省略成了1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。这样一来，当自然数增加到10时由于缺少了计数单位1的存在而无法进行正常的换位，因此自然数只能永远以计位数的身份持续不断地增加到11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22…、300…、322…、4000…、4322……等，它们分别读做十一、十二、十三、十四、十五、十六、十七、十八、十九、二十、二十一、二十二…、三百…、三百二十二…、四千…、四千三百二十二……。这就是我们今天所能看到的所谓整数的样子。
现在大家知道了，高斯数论中的自然数的写法和读法实际上都是被省略了计数单位1的计位数的写法和读法，或者说都是计数单位1的个数的写法和读法，因此自然数并不是完整意义上的整数，更不属于采用“满十换一”的方法计算出来的十换制整数。
一定有人不同意我的观点：认为自然数中的10（十）、100（百）、1000（千）、10000（万）等概念指的就是“十进制数”中计数单位的意思，因此在自然数的写法和读法中不仅包括了计位数的存在，同时也包括了计数单位的存在，自然数就是十进制数。
不错，我们说10、100、1000、10000等概念的确应该代表十换制整数中的计数单位的意思，但这些概念出现在自然数的写法和读法中却绝不能代表计数单位的意思而只能代表计位数的意思，下面我们回答这些问题。
前面已经说过，最早的人们只把计数单位1（物体）的个数当成了整数，而把计数单位1（物体）本身排除在了整数之外。这样一来，整数的增加过程就自然而然地变成了单一的计位数的增加过程而永远与计数单位（物体）无关。随着整数（计位数）的不断增加，人们发现仅用1、2、3、4、5、6、7、8、9等九个数字来表示整数的多少显然已经远远不够了，于是就创造出了10、100、1000、10000等概念来表示整数（计位数）的多少，诸不知这些概念本应属于十换制整数中计数单位的范畴。事实上，自然数中的10（十）、100（百）、1000（千）、10000（万）等概念都是盗用了十换制整数中的计数单位的概念来代替计位数的概念，这种做法一直延续至今。举例说明：
（1）在自然数中，10作为整数的完整写法应该是101，其中10是计位数（10个计位数1的叠写），1是计数单位。101的完整读法是十个一，其中十是计位数，一是计数单位。注意：由于101中的计位数已满10而未进行满十换位，所以101不属于十换制整数。严格地说，101的形式只能属于没有采用“满值换位”的方法计算出来的非换制数，或者叫做个位数。如果我们把101中的计数单位1省略掉了，101就还原成了自然数（计位数）10，读做十。
（2）在自然数中，11作为整数的完整写法应该是111，其中11（计位数10和计位数1的叠写）是计位数，1是计数单位。111的完整读法是十一个一，其中十一是计位数，一是计数单位。注意：由于111中的计位数已满10而未进行满十换位，所以111不属于十换制整数。严格地说，111的形式也只能属于没有采用满值换位的方法计算出来的非换制数，或者叫做个位数。如果我们也把111中的计数单位1省略掉了，111就还原成了自然数11，读做十一。
（3）在自然数中，20作为整数的完整写法应该是201，其中20（两个计位数10的叠写）是计位数，1是计数单位。201的完整读法是二十个一，其中二十是计位数，一是计数单位。注意：因为201中的计位数已超10而未进行满十换位，所以201不属于十换制整数。严格地说，201的形式只属于非换制数，而101以上的所有非换制数本身并无太大的意义（事实上我们并不知道它们应该叫什么？）。如果我们把201中的计数单位1省略掉了，201就还原成了自然数20，读做二十。
（4）在自然数中，22作为整数的完整写法应该是221，其中22（计位数20和2的叠写）是计位数，1是计数单位。221的完整读法是二十二个一，其中二十二是计位数，一是计数单位。注意：221不属于十换制整数而属于非换制数，本身并没有很大的意义。如果我们把221中的计数单位1省略掉了，221就还原成了自然数22，读做二十二。
（5）在自然数中，100作为整数的完整写法应该是1001，其中100（10个计位数10的叠写）是计位数，1是计数单位。1001的完整读法可以叫做百个一或一百个一，其中一百是计位数，一是计数单位。注意：1001不属于十换制整数而只属于非换制数。如果我们把1001中的计数单位1省略掉了，1001就还原成了自然数100，可读做百或一百。
（6）在自然数中，300作为整数的完整写法应该是3001，其中300（3个计位数100的叠写）是计位数，1是计数单位。3001的完整读法叫做三百个一，其中三百是计位数，一是计数单位。注意：3001只属于非换制数或个位数。如果我们把3001中的计数单位1省略掉了，3001就还原成了自然数300，读做三百。
（7）在自然数中，322作为整数的完整写法应该是3221，其中322（计位数300、20和2的叠写）是计位数，1是计数单位。3221的完整读法叫做三百二十二个一，其中三百二十二是计位数，一是计数单位。如果我们把3221中的计数单位1省略掉了，3221就还原成了自然数322，读做三百二十二。
（8）在自然数中，1000作为整数的完整写法应该是10001，其中1000（10个计位数100的叠写）是计位数，1是计数单位。10001的完整读法叫做一千个一，其中一千是计位数，一是计数单位。如果我们把10001中的计数单位1省略掉了，10001就还原成了自然数1000，读做一千或千。
（9）在自然数中，4000作为整数的完整写法应该是40001，其中4000（4个计位数1000的叠写）是计位数，1是计数单位。40001的完整读法叫做四千个一，其中四千是计位数，一是计数单位。如果我们把40001中的计数单位1省略掉了，40001就还原成了自然数4000，读做四千。
（10）在自然数中，4322作为整数的完整写法应该是43221，其中4322（计位数4000、300、20、2的叠写）是计位数，1是计数单位。43221的完整读法叫做四千三百二十二个一，其中四千三百二十二是计位数，一是计数单位。如果我们把43221中的计数单位1省略掉了，43221就还原成了自然数4322，读做四千三百二十二。
长期以来，由于高斯数论对于“整数性质”和“整数构成”的错误理解，必然导致对于一系列基本概念和基本运算方法的错误解释和使用。比如：对于整数、偶数、奇数、合数、素数、“进位”、“进制”、“十进制”、“进率”等一系列基本概念的错误解释和使用以及对于加、减、乘、除等基本运算方法的错误解释和使用。可以假设，如果连这些最基本的概念和运算方法都是错误的或不严谨的，那么由此而建立起来的高斯整数理论体系也必然是错误的或不严谨的。
非常遗憾的是，自古到今从未有人怀疑过高斯整数体系的可靠性，即使在面对几百上千年都解答不了的数学难题时也从未有人怀疑过这也许是理论自身出现了问题。值得庆幸的是，这一切终于给了三维整数体系一个千载难逢的好机会。
《三维数论》正是一本给整数下准确定义的书，它用无可争辩的事实和最简单的方法详细论证了一切整数所应具有的三维性质，同时第一次把“整数”与“维量”以及把“计位数”与“计数单位”的概念严格地区分开来；并进一步将“整数”与“组合整数”以及“同位数”与“异位数”的概念严格地区分开来。《三维数论》清楚地向人们说明了什么才是真正意义上的整数以及整数的正确写法和读法；同时也指出人们通常所说的自然数并非真正的整数以及在写法和读法上存在的一系列错误和矛盾。《三维数论》不仅能够给出整数一个精确的定义，并在此基础上对高斯数论中原有的一系列基本概念和基本运算方法都进行了重新定义。比如对偶数、奇数、合数、素数、进位、进制，十进制、进率以及加、减、乘、除等一系列基本概念都分别进行了严格地定义。不仅如此，《三维数论》中还创造出了一系列新的名词和概念，这些新的名词和概念在阐述整数的性质、构成以及相互关系的过程中起到了至关重要的作用；毫无疑问，正是由于高斯数论中缺少了这些关键性的名词或概念才使得理论自身破绽百出，不能自圆其说。在《三维数论》中，通过两种数论之间的真实对比，读者一方面可以清楚地发现高斯数论中存在的明显错误和矛盾，以及造成这些错误和矛盾的误区所在；另一方面还可以真正地领悟到三维数论所具有的简单性、逻辑性和合理性。
毋庸讳言，建立三维数论的目的就是要最终取代高斯数论，因为高斯数论中存在的错误和缺陷是致命的，如果这些错误和缺陷到现在还得不到彻底的纠正，数学的发展必将走进死胡同，这绝不是耸人听闻。可以预见，《三维数论》的出现必将掀起一场空前的“整数”革命，同时也将宣告现有的高斯整数体系（一维整数体系）的终结。不难想象，假如高斯能够看到《三维数论》一定会瞠目结舌、羞愧难当；假如哥德巴赫能够看到《三维数论》肯定会重新修改自己的猜想；假如陈景润能够看到《三维数论》必定会轻松破解哥德巴赫猜想。
新思想的产生必须是在否定旧理论的基础之上建立起来的，如果我们没有足够的勇气向传统观念挑战，而是死抱着前人现成的、看似正确的观点不放，那么新思想即使出现了我们也会视而不见。
尊敬的读者：如果您曾经对高斯数论中的所谓“整数就是正整数、负整数和零的总称”这句话也存有过疑问，不妨请您也读一读《三维数论》吧，相信您读后一定会感叹道：“整数原来应该是这样的？这世界真是太奇妙了”。
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